РЕШУ ЦЭ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 390 Добавить в вариант

Найдите все пары (m, n) целых чисел, которые связаны соотношением m² + 2m  =  n² + 6n + 13. Пусть k  — количество таких пар, m₀  — наименьшее из значений m, тогда значение выражения k · m₀ равно ... .

Спрятать решение

Решение.

Разложим на множители:

$m в квадрате плюс 2m=n в квадрате плюс 6n плюс 13 равносильно левая круглая скобка m в квадрате плюс 2m плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n в квадрате плюс 6n плюс 9 правая круглая скобка плюс 5 равносильно левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 5 равносильно$ $m в квадрате плюс 2m=n в квадрате плюс 6n плюс 13 равносильно левая круглая скобка m в квадрате плюс 2m плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n в квадрате плюс 6n плюс 9 правая круглая скобка плюс 5 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 5 равносильно$ $m в квадрате плюс 2m=n в квадрате плюс 6n плюс 13 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка m в квадрате плюс 2m плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n в квадрате плюс 6n плюс 9 правая круглая скобка плюс 5 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 5 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =5 равносильно левая круглая скобка m плюс n плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка m минус n минус 2 правая круглая скобка =5.$

Число 5 можно представить в виде произведения целых множителей следующим образом:

$совокупность выражений система выражений m плюс n плюс 4=5,m минус n минус 2=1, конец системы . система выражений m плюс n плюс 4=1,m минус n минус 2=5, конец системы . система выражений m плюс n плюс 4= минус 5,m минус n минус 2= минус 1, конец системы . система выражений m плюс n плюс 4= минус 1,m минус n минус 2= минус 5 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений m плюс n=1,m минус n=3, конец системы . система выражений m плюс n= минус 3,m минус n=7, конец системы . система выражений m плюс n= минус 9,m минус n=1, конец системы . система выражений m плюс n= минус 5,m минус n= минус 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений m=2,n= минус 1, конец системы . система выражений m=2,n= минус 5, конец системы . система выражений m= минус 4,n= минус 5, конец системы . система выражений m= минус 4,n= минус 1. конец системы . конец совокупности .$

Итак, $k=4,m_0= минус 4$ и $km_0 = 4 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка = минус 16.$

Ответ: −16.

Сложность: IV

Спрятать решение · Помощь